§3.7 直线和圆的关系

3.7.0 情形零：相切（四种情况）

已知情况	处理方法
已知圆心、已知切点	验切线与半径垂直
未知圆心、已知切点	切点生成点圆，共轴圆系验 $\lambda_P = \lambda_Q$
已知圆心、未知切点	移轴到圆心，验原点到直线距离 = 半径
未知圆心、未知切点	最后手段：联立判别式 $\Delta = 0$

要点： 能用几何方法验相切，就不要联立判别式。

3.7.1 情形一：圆斜式

通法： 移轴至直线和圆的一个交点 A 并联立。

公式卡片 $\text{圆 } ABC: x^2 + y^2 - dx - ey = 0,\quad AP: y = kx$ $x_P = \frac{d+ek}{1+k^2},\quad y_P = \frac{k(d+ek)}{1+k^2}$

这是对韦达的上位替代。

后续操作：

• 坐标是二次分式，要设成 $(p, kp)$
• (a) 验证 $p = f(k) = g(k)$ 是恒等式
• (b) 时刻留意 $p(k^2+1) = d + ek$ 是整式，设而不求整体消去

代表例题：24 CMO P2、24 高联二 P2。

没有中点相关结论，不要使用韦达。

3.7.5 情形二：弦端点

公式卡片 $x_P = \frac{kd+e}{k^{-1}+k},\quad y_P = \frac{ke-d}{k^{-1}+k}$

3.7.6 情形三：截距式直线

公式卡片 $A_2 = 1 - en,\quad A_0 = 1 - dm,\quad -A_1 = dn + em$ $k_1 + k_2 = -\frac{A_1}{A_2},\quad k_1 k_2 = \frac{A_0}{A_2}$

3.7.7 情形四：反解 PQ

公式卡片 记 $k_1 + k_2 = \alpha$，$k_1 k_2 = \beta$，则 $\alpha = \frac{dn+em}{1-en},\quad \beta = \frac{1-dm}{1-en}$ 反解出 $m/n$ 即得 PQ。